Бинарные отношения, часть 1

Бинарное отношение $R$ на паре множеств $A$ и $B$ — это:

$|A| = m$, $|B| = n$. Сколько всего различных бинарных отношений между $A$ и $B$?

$A$ и $B$ непустые. В каком случае $A \times B = B \times A$?

$R$ — отношение на $A$. На главной диагонали матрицы $M_R$ стоят только единицы. Каким свойством обладает $R$?

$R \subseteq A^2$. Что означает петля у вершины $a$ на графе $R$?

Как связаны матрицы $M_R$ и $M_{R^{-1}}$?

$\operatorname{Dom}(R)$ — это:

Как $\operatorname{Im}(R)$ связана с обратным отношением $R^{-1}$?

Какое условие задаёт симметричность отношения $R$ на $A$?

Какое утверждение о связи асимметричности и антисимметричности верно?

Отношение $R$ на $A$ называется несимметричным, если:

Какое условие задаёт транзитивность отношения $R$ на $A$?

Верно ли, что любое асимметричное отношение антирефлексивно?

На рисунке — граф отношения $R$ на $\{1, 2, 3, 4\}$. Какое утверждение о рефлексивности $R$ верно?

На рисунке — матрица отношения $R$ на $\{1, 2, 3\}$. Какая из матриц — $M_{R^{-1}}$?

На рисунке — граф отношения $R$ на $\{a, b, c, d\}$. Какой вывод о транзитивности верен?

$A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{a, b, c, d\}$. $|P(A \times B)| = ?$

$R = \{(1, 2), (1, 4), (3, 2), (5, 6)\}$. $\operatorname{Dom}(R) = ?$

$R = \{(1, 2), (1, 4), (3, 2), (5, 6)\}$. $\operatorname{Im}(R) = ?$

$R = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2)\}$. $R^{-1} = ?$

$A = \{1, 2, 3\}$, $R = A \times A$. $|R| = ?$

$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $R = \{(a, b) \mid a \text{ делит } b\}$. $|R| = ?$

Сколько существует различных рефлексивных отношений на множестве из 3 элементов?

Сколько существует различных симметричных отношений на множестве из 3 элементов?

$A = \{1, 2\}$. Сколько существует антирефлексивных отношений на $A$?

$R = \{(1, 2), (2, 3)\}$. Какую пару нужно добавить к $R$, чтобы отношение стало транзитивным?

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $R = \{(a, b) \in A^2 \mid a + b = 6\}$. $|\operatorname{Dom}(R)| = ?$

$R$ — антирефлексивное отношение на множестве из $n$ элементов. Сколько единиц на главной диагонали $M_R$?

На рисунке — граф отношения на $\{1, 2, 3\}$. Сколько на нём рёбер (двунаправленных дуг)?

На рисунке — граф отношения на $\{1, 2, 3\}$. Сколько на нём петель?

На рисунке — матрица отношения $R$ на $\{1, 2, 3\}$. $\operatorname{Dom}(R) = ?$

На рисунке — отношение $R \subseteq A \times B$, пары отмечены точками на сетке. $\operatorname{Im}(R) = ?$

Какие равенства верны для любых множеств $A$, $B$, $C$?

Какие отношения на $\mathbb{N}$ рефлексивны?

$A = \varnothing$, $R = \varnothing$. Какие свойства есть у $R$?

Какие отношения симметричны?

Какие свойства обязательны для любого асимметричного отношения?

Какие отношения на множестве чисел транзитивны?

$R \subseteq A \times B$. Какие утверждения верны?

Какие свойства матрицы $M_R$ соответствуют симметричному отношению?

$A = \{1, 2, 3\}$, $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$. Какими свойствами обладает $R$?

Какими свойствами обладает отношение $a < b$ на $\mathbb{R}$?

На рисунке — граф отношения $R$ на $\{1, 2, 3\}$. Какими свойствами обладает $R$?

На рисунке — граф отношения $R$ на $\{1, 2, 3\}$. Какие утверждения верны?

На рисунке — граф отношения $R$ на $\{1, 2, 3\}$. Каких пар не хватает, чтобы $R$ стало транзитивным?

На рисунке — матрица отношения $R$ на $\{1, 2, 3\}$. Какими свойствами обладает $R$?

Какие утверждения об асимметричных и антисимметричных отношениях верны?

Какие комбинации свойств невозможны для одного отношения на непустом множестве?