Бинарные отношения, часть 2

$R \subseteq A^2$ — отношение эквивалентности на $A$, если $R$:

$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (3, 1)\}$ — отношение эквивалентности на $A$. $[1] = ?$

$R \subseteq A \times B$, $S \subseteq B \times C$. $R \circ S = ?$

$A = \{1, 2, 3\}$, $R = \{(1, 2), (2, 3)\}$. $R^0 = ?$

$U = \{1, 2, 3\}$. На $P(U)$ задано отношение $R$: $(X, Y) \in R \Leftrightarrow X \subseteq Y$. Почему $R$ не отношение эквивалентности?

$A = \{1, 2, 3, 4\}$. Какой граф задаёт отношение эквивалентности на $A$?

$A = \{1, 2, 3\}$, $R = \{(1, 2)\}$, $S = \{(2, 3)\}$. $(R \circ S)^{-1} = ?$

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $R$ — отношение эквивалентности на $A$, $[A]_R = \{\{1, 3\}, \{2, 4, 5\}\}$. Какие элементы порождают класс $\{2, 4, 5\}$?

$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $R = A^2$. $[A]_R = ?$

$A = \{1, 2, 3\}$, $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$. Какое утверждение верно?

Даны утверждения.

1. Для любого разбиения $\langle A \rangle$ найдётся отношение эквивалентности $R$ на $A$, для которого $[A]_R = \langle A \rangle$.
2. Если $R \subseteq A^2$ рефлексивно и симметрично, то множества $[a] = \{x \mid (x, a) \in R\}$, $a \in A$, образуют разбиение $A$.

$A = \{1, 2\}$, $R = \{(1, 1), (1, 2)\}$. Замыкание $R$ относительно антирефлексивности $= ?$

$R \subseteq A^2$, $A \ne \varnothing$. Композиция как в лекции:

Каким свойством $R \circ R^{-1}$ обладает при любом $R$?

$R$ — отношение эквивалентности на $A$. Какое утверждение о $R^2$ верно?

Замыкание $R$ относительно свойства $P$ — минимальное по включению ______ $R$, обладающее свойством $P$.

$R$ — отношение эквивалентности. Элемент, который находится в отношении $R$ со всеми элементами своего класса эквивалентности, называется ______ элементом этого класса.

На рисунке — граф отношения эквивалентности $R$ на $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Сколько у $R$ классов эквивалентности?

На рисунке — граф отношения $R$ на $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Сколько пар в рефлексивном замыкании $R$?

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, $aRb \Leftrightarrow a - b$ делится на 3. $[5] = ?$

На рисунке — отношения $R \subseteq A \times B$ (стрелки из $A$ в $B$) и $S \subseteq B \times C$ (стрелки из $B$ в $C$). Композиция как в лекции:

$|R \circ S| = ?$

$|A| = 3$, $|B| = 2$, $|C| = 4$, $R \subseteq A \times B$, $S \subseteq B \times C$. Наибольшее возможное $|R \circ S| = ?$

На рисунке — матрица $M_R$ отношения $R$ на $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Сколько пар в симметричном замыкании $R$?

$U = \{1, 2\}$. На $P(U)$ задано отношение $R$: $(X, Y) \in R \Leftrightarrow X \subseteq Y$. $|R| = ?$

На рисунке — граф отношения $R$ на $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Сколько пар в транзитивном замыкании $R$?

На рисунке — граф отношения $R$ на $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Наименьшее $n \ge 1$, при котором $R^n = \varnothing$: $n = ?$

Сколько существует различных отношений эквивалентности на множестве $\{1, 2, 3\}$?

$|A| = 4$, $R$ — отношение эквивалентности на $A$, $|R| = 10$. Сколько у $R$ классов эквивалентности?

$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $R = \{(1, 2), (3, 2), (3, 4)\}$. Сколько пар в транзитивном замыкании симметричного замыкания $R$?

$R \subseteq A^2$, $|A| = n$. Какие равенства верны?

Система множеств $A_i$, $i \in I$, — разбиение множества $A$. Какие условия входят в определение разбиения?

$A = \{1, 2, 3, 4\}$. Какие наборы множеств — разбиения $A$?

$R$ — отношение эквивалентности на $A$. Какие утверждения верны?

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $R$ — отношение эквивалентности на $A$, $[A]_R = \{\{1, 2, 4\}, \{3, 5\}, \{6\}\}$. Какие записи верны?

$R, S, T \subseteq A^2$. Какие равенства верны при любых $R$, $S$, $T$?

Какие отношения на $\mathbb{Z}$ — отношения эквивалентности?

$R$ — отношение эквивалентности на $A$. Какие равенства верны?

$R \subseteq A \times B$, $S \subseteq B \times C$, $(a, c) \in R \circ S \Leftrightarrow \exists b \in B: (a, b) \in R \land (b, c) \in S$. Какие утверждения верны при любых $R$ и $S$?

$U = \varnothing$. На $P(U)$ задано отношение $R$: $(X, Y) \in R \Leftrightarrow X \subseteq Y$. Какие утверждения верны?

$A = \{1, 2, 3\}$, $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 1)\}$. Какие утверждения верны?

$R \subseteq A^2$ рефлексивно и симметрично, $R^+$ — транзитивное замыкание $R$. Какие утверждения верны при любом таком $R$?

$R$, $S$ — отношения эквивалентности на $A$. Какие отношения обязательно будут отношениями эквивалентности на $A$?