Теория множеств

Множества и их запись, подмножества, операции над множествами, диаграммы Эйлера–Венна, булеан, декартово произведение, мощность.
К каждому заданию есть разбор решения.

47 заданий

Как проходить Проверка в конце Отвечаете на все задания, потом смотрите результат и разбор Тренировка Можно проверить каждое задание сразу и взять подсказку

Режим можно поменять и во время прохождения.

Режим

Блок 1. Один верный вариант

Какое утверждение о $\varnothing$ верно?

\varnothing

— множество, содержащее один элемент, и

|\varnothing| = 1

\varnothing \notin A

для любого множества

A

\varnothing

— множество, не содержащее ни одного элемента, и

|\varnothing| = 0

\varnothing = \{\varnothing\}

Какое утверждение о равенстве двух множеств $A$ и $B$ верно?

A = B \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing

A = B \Leftrightarrow |A| = |B|

A = B \Leftrightarrow A \subseteq B

или

B \subseteq A

A = B \Leftrightarrow A \subseteq B

B \subseteq A

Даны записи $A = \{1, 1, 3, 3, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3\}$ . Какое утверждение верно?

A \ne B

, так как в

A

есть повторяющиеся элементы

A = B

, но

|A| = 5 \ne |B| = 3

A \ne B

, так как порядок элементов разный

A = B

|A| = |B| = 3

, так как все элементы множества уникальны

Для чего используются диаграммы Эйлера–Венна?

Для строгого доказательства равенств между множествами Для графического изображения отношений между множествами Для вычисления мощности декартова произведения Для перечисления всех элементов множества

Какое утверждение об $A \cup B$ верно для любых множеств $A$ и $B$ ?

A \cup B

содержит только общие элементы

A

B

A \subseteq A \cup B

|A| \le |A \cup B|

A \cup B = A \cap B

, если

A \cap B \ne \varnothing

A \subset A \cup B

|A| < |A \cup B|

Дано $C = \{1, 2, \{1, 2, 4\}, 3\}$ . Какое утверждение верно?

\{1, 2, 4\} \in C

, но

\{1, 2, 4\} \not\subset C

\{1, 2, 4\} \notin C

, но

\{1, 2, 4\} \subset C

\{1, 2, 4\} \in C

, и при этом

\{1, 2, 4\} \subset C

\{1, 2, 4\} \notin C

, и

\{1, 2, 4\} \not\subset C

Какое утверждение о декартовом произведении $A \times B$ верно?

A \times B = \{a, b \mid a \in A \text{ и } b \in B\}

A \times B = B \times A

для любых

A

B

A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ и } b \in B\}

, и

|A \times B| = |A| \cdot |B|

для конечных

A

B

A \times B = \{(a, b) \mid a \in B \text{ и } b \in A\}

Какое утверждение о разности $A \setminus B$ верно?

A \setminus B = B \setminus A

, операция коммутативна

A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}

, и

A \setminus B \ne B \setminus A

в общем случае

A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \notin B\}

A \setminus B = A \cap B

«________ — это совокупность объектов произвольной природы, которые рассматриваются как единое целое». Какое слово пропущено?

Булеан Подмножество Кортеж Множество

«________ — это множество всех подмножеств множества $A$ ». Какое слово пропущено?

Разность Универсум Дополнение Булеан

Верно ли записано определение равенства множеств на кванторах?

\forall x: x \in A \Leftrightarrow x \in B

Нет, должно быть

\forall x: x \in A \cup B

Да, это верная запись Нет, должно быть

\exists x: x \in A \Leftrightarrow x \in B

Нет, должно быть

\forall x: x \in A \land x \in B

Известно, что $A = B$ . Даны утверждения.

$A \subseteq B$
$B \subseteq A$

Только 1 Оба Только 2 Ни одного

Даны утверждения для любых множеств $A$ и $B$ .

$A \setminus B = B \setminus A$
$A \mathbin{\Delta} B = B \mathbin{\Delta} A$

Только 2 Ни одного Только 1 Оба

На диаграмме Эйлера–Венна закрашена некоторая область. Какое выражение соответствует этой области?

Два круга A и B в прямоугольнике U, закрашена часть круга B вне круга A

B \setminus A

A \setminus B

A \cap B

A \cup B

На диаграмме Эйлера–Венна закрашена некоторая область. Какое выражение соответствует этой области?

Два круга A и B в прямоугольнике U, закрашены оба круга без общей части

B \setminus A

A \cap B

A \setminus B

A \mathbin{\Delta} B

На диаграмме Эйлера–Венна закрашена некоторая область. Какое выражение соответствует этой области?

Три круга A, B, C в прямоугольнике U, закрашена часть общей области A и B вне круга C

(A \cap B) \setminus C

(A \cap B) \cap C

(A \cup B) \setminus C

(A \cap B) \cup C

Блок 2. Краткий ответ

$A = \{1, 2\}$ . $P(A) = ?$

множество в фигурных скобках, его элементы тоже в фигурных скобках, пустое множество: {}. Например: {{}, {5}}

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6\}$ . $A \cap B = ?$

множество в фигурных скобках, элементы через запятую.

$A = \{a, \{b, c\}, d, \{a, \{b, \{c\}, d\}, e\}, e\}$ . $|A| = ?$

число.

$X = \{1, \{2, 3\}\}$ , $Y = \{a, b, c\}$ . $|X \times Y| = ?$

число.

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{2, 4, 5, 6, 7\}$ . $A \setminus B = ?$

множество в фигурных скобках, элементы через запятую.

Сколько подмножеств у множества из 3 элементов?

число.

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ . $A \mathbin{\Delta} B = ?$

множество в фигурных скобках, элементы через запятую.

$|P(A)| = 32$ . $|A| = ?$

число.

Какой символ обозначает квантор единственности («единственный», «только один»)?

один символ с клавиатуры.

$A = \{1, 2\}$ , $B = \{a, b, c\}$ . $|A \times B| = ?$

число.

$A = \{1, 2\}$ , $B = \{x, y\}$ , $C = \{a\}$ . $|A \times B \times C| = ?$

число.

$A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{a, b\}$ . $|A \times B| = ?$

число.

$R = \{(1, a), (2, b)\}$ . Является ли $R$ бинарным отношением между $A = \{1, 2\}$ и $B = \{a, b\}$ ?

да или нет.

$A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{3, 4, 5\}$ , $C = \{2, 3\}$ . $(A \setminus B) \cap C = ?$

множество в фигурных скобках, элементы через запятую.

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , $A = \{1, 3, 5\}$ . $|\overline{A}| = ?$

число.

Блок 3. Несколько верных вариантов

Какие множества — подмножества $M = \{1, 2, 3, 4\}$ ?

Отметьте все верные варианты

\varnothing

\{1, 2, 5\}

\{1, 2, 3\}

\{1, 2, \{3, 4\}\}

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{2, 4, 5\}$ . Какие числа — элементы $A \setminus B$ ?

Отметьте все верные варианты

Какие равенства верны для любых множеств $A$ , $B$ ?

Отметьте все верные варианты

A \cap B = B \cup A

A \cap B = B \cap A

A \cup B = B \cap A

A \cup B = B \cup A

Какие равенства верны для любого множества $A$ ?

Отметьте все верные варианты

A \cup \varnothing = A

A \cup \varnothing = \varnothing

A \cap \varnothing = A

A \cap \varnothing = \varnothing

Какие утверждения верны для любых множеств $A$ и $B$ ?

Отметьте все верные варианты

A \cap B = A \cup B

A \subseteq B

A \setminus B = B \setminus A

A \mathbin{\Delta} B = B \mathbin{\Delta} A

Какие из равенств — законы де Моргана?

Отметьте все верные варианты

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}

Какие равенства верны для любых $A$ , $B$ ?

Отметьте все верные варианты

A \cap (A \cup B) = A

A \cup (A \cap B) = A

A \cap (A \cup B) = B

A \cup (A \cap B) = B

Что верно про мощность конечных множеств?

Отметьте все верные варианты

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

|A \setminus B| \le |A|

|A \cap B| \le |A|

|P(A)| = 2^{|A|}

Какие утверждения верны для любых множеств $A$ , $B$ ?

Отметьте все верные варианты

A \setminus B = B \setminus A

Нет правильного ответа

A \subseteq B

A \cap B = A \cup B

Известно, что $A \subseteq B$ . Даны утверждения.

$A \cap B = A$
$A \cup B = B$

Оба Только 1 Только 2 Ни одного

На диаграмме Эйлера–Венна закрашена некоторая область. Какие выражения ей соответствуют?

Три круга A, B, C в прямоугольнике U, закрашены три лепестка попарных пересечений и центр

Отметьте все верные варианты

A \cup B \cup C

(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C)

A \mathbin{\Delta} B \mathbin{\Delta} C

A \cap B \cap C

На диаграмме Эйлера–Венна закрашена некоторая область. Какие выражения ей соответствуют?

Три круга A, B, C в прямоугольнике U, закрашены три внешние части и центр, лепестки не закрашены

Отметьте все верные варианты

(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)

A \cup B \cup C

A \mathbin{\Delta} B \mathbin{\Delta} C

(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C)

Какие свойства верны для любых множеств $A$ , $B$ , $C$ ?

Отметьте все верные варианты

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

A \mathbin{\Delta} B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

Какие утверждения о мощности верны для конечных множеств?

Отметьте все верные варианты

|P(A)| = 2^{|A|}

|A \times B| = |A| \cdot |B|

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

|A \setminus B| \le |A|

На диаграмме $A \subseteq B \subseteq C$ , закрашена некоторая область. Какие выражения ей соответствуют?

Три вложенных круга: A внутри B, B внутри C. Закрашены кольцо между B и C и круг A

Отметьте все верные варианты

C \setminus B

(C \setminus B) \cup (B \setminus A)

A \setminus C

(C \setminus B) \cup A

Какая из диаграмм соответствует выражению $A \mathbin{\Delta} (B \cup C)$ ?

Нашли ошибку или неточность в задании, ключе или пояснении? Напишите номер задания и что не так. Необязательно